Sarp Akkaya, 13 Mayıs 1980 tarihinde İstanbul Moda'da yaşayan memur bir ailenin üç çocuğundan biri olarak dünyaya geldi. Oyuncu Esra Akkaya ablası ve Kaya Akkaya adında ikiz erkek kardeşi vardır.
Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı Tiyatro bölümünden mezun 2001 yılında oldu. Stüdyo Drama Tiyatro Topluluğu'nun 'Kaos' ve 'Sonra' ardından Alchera Tiyatro Topluluğu'nun '6.Gün' ve 'Devenin Hörgücü Yamuk Olur' isimli tiyatro oyunlarda oynadı.
Mimar Sinan Üniversitesi Devlet Konservatuvarı Tiyatro bölümü son sınıf öğrencisi iken Sarp Akkaya okul arkadaşı Onur Bayraktar ile birlikte 'Stüdyo Drama Tiyatro Topluluğu'nu kurdu.
1995 yılında yönetmenliğini Kartal Tibet'in Sema Okay ile birlikte yaptığı 'Bizim Aile' dizisinde oyunculuğa başladı. Bu dizide, Ergun Köknar, Jeyan Mahfi Tözüm, Mine Çayıroğlu, Kerim Afşar, Toprak Sergen, Devrim Nas, Kaya Akkaya, Civan Canova, Ferdi Akarnur, Zafer Önen, Bülent Şakrak ve Hakan Vanlı gibi oyuncularla birlikte oynamıştır.
2007 yılında Kurtlar Vadisi Pusu adlı dizide canlandırdığı Servet karakteriyle tanındı. 2009 - 2010 yılları arasında yönetmenliğini Uluç Bayraktar'ın yaptığı 'Ezel' adlı dizide Tevfik karakteriyle büyük çıkış yakaladı. Dizinin belli başlı rollerinde Kenan İmirzalıoğlu, Cansu Dere, Yiğit Özşener, Barış Falay, Tuncel Kurtiz, Haluk Bilginer, Burçin Terzioğlu, Sedef Avcı, Berrak Tüzünataç, Rıza Kocaoğlu, Bade İşçil, İsmail Filiz, Salih Kalyon gibi oyuncular rol aldı.
2007 yılının Kasım ayında konservatuar mezunu bir grup oyuncu tarafından, Serdar Akar'ın süpervizörlüğünde kurulan 'Tiyatroadam' kurucuları arasında oldu
2010 yılında ablası Esra Akkaya ve ikizi Kaya Akkaya ile birlikte 'AKKAdemi Tiyatro' adında bir eğitim kurumu ve tiyatro kurdular.
Sarp Akkaya, 2012 yılında 'Suskunlar' adlı dizide başrolü Murat Yıldırım ile paylaşırken diğer rollerde Aslı Enver, Berk Hakman ve Pelin Akil oynamıştır.
2015 yılında 'Racon' adlı dizide başrollerinde Mehmet Aslantuğ, Sezin Akbaşoğulları, Seçkin Özdemir, Hande Doğandemir, Sarp Akkaya, Barış Arduç, Ekin Türkmen ve Tomris İncer rol aldı.
17 Nisan 2015 tarihinde vizyona giren 'Eksik' adlı Sinema filminin yönetmenliğini Barış Atay Mengüllüoğlu yaparken aynı zamanda oyuncu olarak da görev almıştır. Diğer rollerde Nur Sürer, Özgür Emre Yıldırım, Toprak Sağlam, Uğur Polat, Şebnem Sönmez, Sarp Akkaya oynamıştır.
2015 yılının Eylül ayında ATV ekranlarında yayınlanmaya başlayan 'Evli ve Öfkeli' adlı dizide Birce Akalay, Yıldız Çağrı Atiksoy, Ebru Cündübeyoğlu, Ayça Erturan ve Sarp Akkaya, Serkan Altunorak başrolde oynadı.
Rol aldığı oyunlar
Markalı Hava
Albay Kuş
Devenin Hörgücü Yamuk Olur
Diziler
Evlilik Hakkında Her Şey - 2021-
Saygı - 2021
Çukur - 2021 (Şahram)
Ayak İzleri - 2021 (Burhan)
Ferhat ile Şirin - 2019 (Cemal)
Kurşun - 2019 (Aydın Kara)
Söz - 2018-2019 (Dragan Ratkoviç)
Evli ve Öfkeli - 2015-2016 (Murat)
Racon - 2015 (Recep Güldağ)
Muhteşem Yüzyıl - 2013-2014 (Atmaca)
Şubat - 2013 (Lodos)
Suskunlar - 2012 (Sarı)
Mavi Kelebekler
Ezel - 2009-2011 (Tevfik Zaim)
Gece Gündüz - 2008
Sürgün Hayatlar
Şöhret Okulu
Ertelenmiş Hayatlar
Kurtlar Vadisi Pusu - 2007 (Servet)
Beni Unutma
Nefes Nefese - 2005
Ah Be İstanbul - 2004
Bizim Aile
Filmler
Sen Ben Lenin - 2021
Beni Çok Sev - 2021
7. Koğuştaki Mucize - 2019
Kaybedenler Kulübü Yolda - 2018
Kötü Çocuk - 2017
Martıların Efendisi - 2017
Eksik - 2015
El Yazısı - 2012
Labirent - 2011
Firar - 2011
Seslendirmeler
Dante (Kurtlar Vadisi Irak) 2006
Oktay (Arka Sıradakiler) 2007-2010 / 1-121